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2、九章算術 卷第一 方田——里田術
原文
[3]今有田廣一里，從一里。問為田幾何？
答曰：三頃七十五畝。
[4]今有田廣二里，從三里。問為田幾何？
答曰：二十二頃五十畝。
里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。
今譯：
[1]已知一塊正方形的田地邊長為1里。問這塊田地的面積是多少？
解：1里=300步，1畝=240平方步，100畝=1頃
正方形田地面積=1里×1里
=300步×300步
=90000（平方步）
=90000÷240
=375畝
=3頃75畝
由此歸納出：1平方里=375畝
[2] 已知一塊長方形的田地寬2里，長3里。問這塊田地的面積是多少？
解：長方形田地面積=2里×3里
=6（平方里）
=6×375畝
=2250畝
=22頃五十畝
計算長寬以“里”為單位的長方形面積的方法：長方形的長（里數）乘以寬（里數），所得的積為長方形田地的面積（積里，即為：平方里）。用所得的積乘以375畝，得數即為田地的畝數。
即：積里=廣（里）×從（里）
畝數=積里×375畝
評議：
上一講我們學習了《九章算術》的方田術，給出了長方形（含正方形）的面積公式，計算了以“步”為長度單位的面積，定義了1畝標準，即1畝=240平方步，還規定了100畝=1頃。
這一講我們繼續學習《九章算術》的里田術，還是求解長方形田地的面積，只是將之前的小單位“步”改成大單位“里”。
對于“里田術”，筆者談談我個人的感想：
1、古人已經認識到“正方形是特殊的長方形”，只是正方形的邊長仍然稱為廣（寬）和從（長）。
1平方里方田示意圖
前兩道題都是求長方形的面積，而第三題是求正方形面積，通過此題的計算過程（面積=長×寬），我們可以推出：古人已經認識正方形就是長方形，只是特殊的一類長方形（廣與從相等）。
通過此題定義了1平方里的標準，等于375畝。
2、感嘆古人能嫻熟地運用“九九表”。
“九九表”由誰首創，何時創造，已無從考證。但有一點是可以明確的，在春秋戰國時代，“九九表”已經廣泛流行了。
她又為什么叫“九九表”，而不是“一一表”呢？由于我國古代乘法口訣是從“九九八十一”倒敘的，而非現代從“一一得一” 順敘的。為了方便記憶，古人采用起始兩字“九九”來表示此種方法。
古時的計算是用算籌（參見我的文章“算、筭、祘”）進行的，在乘除運算中，一邊念叨“九九”乘法口訣，一邊擺弄算籌，得出結果。此過程對于當時的人們頗為神秘。至于如何運用算籌進行加減乘除開方等運算，我會另起文章敘述。
3、感嘆古人對（平方）步、（平方）里、畝、頃單位之間的換算相當熟練。
通過翻譯解題的過程，我們發現，如果不對原文進行翻譯，邊長為1里的正方形田地面積，今人是無法理解其答案的（三頃七十五畝）。正是這個過程，說明古人對（平方）步、（平方）里、畝、頃單位之間的換算是非常熟練的。
平方步、平方里、畝、頃單位之間的換算規律
4、疑惑
筆者還有個疑惑，古時的（平方）步、（平方）里、畝、頃與今天的平方米是如何換算的呢？還需要查閱資料。
參考文獻
1、肖作政編譯.《九章算術今解》.大連：遼寧人民出版社，1990
2、郭書春譯注.《九章算術譯注》.上海：上海古籍出版社，2009
3、鄒涌譯解.《九章算術》.重慶：重慶出版社，2023
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