超級傳播者

1906年8月，銀行家沃倫一家正在紐約的避暑別墅度假。沒多久沃倫的女兒感染了傷寒，緊接著這所別墅里的11人有6人被感染。很快將人們將目標(biāo)鎖定在了廚師瑪麗·梅倫（Mary Mallon）身上，瑪麗此前工作過的地點都曾暴發(fā)過傷寒，而且瑪麗不是一個愛干凈的廚師，上完廁所及做飯之前從來不洗手，瑪麗最擅長不戴手套手工制作“桃子冰激凌”。瑪麗看起來健康壯實、面色紅潤，完全不像是一個感染者，但研究人員在她的膽囊中發(fā)現(xiàn)了大量活性傷寒桿菌。作為歷史上第一個被發(fā)現(xiàn)的“健康帶菌者”，瑪麗與當(dāng)?shù)匦l(wèi)生部門達(dá)成和解并取消隔離，條件是她不再做廚師。幾年后，固執(zhí)的瑪麗再次以“布朗夫人”的名義重操舊業(yè)，并再次使25人感染。瑪麗最終被隔離在一座島上直到去世。瑪麗一生中直接傳播了52例傷寒，其中7例死亡，間接被傳染者不計其數(shù)。作為歷史第一位“超級傳播者”，她擁有了一個與傷寒緊緊聯(lián)系在一起的名字“傷寒瑪麗(Typhoid Mary)”

傷寒瑪麗

假如我們每個人都是“超級瑪麗”，每天傳染10個人，只要不到10天時間，全世界的人都會被感染。如果傳染病的致死率為10%的話，很快地球上將減少7.5億人口。幸運的是，這是傳染病傳播最簡陋的模型，實際上還沒有哪一種傳染病能在這么短時間內(nèi)讓這么多人死亡。

早期的傳播模型

天花病毒是催生人類研究傳染病模型的最早動力，盡管我國在宋代就已經(jīng)開始接種人痘以預(yù)防天花，但人痘法依然具有讓人感染上天花并死亡的風(fēng)險。當(dāng)這種方法傳到歐洲的時，對這種風(fēng)險的擔(dān)憂開啟了對傳染病模型的研究。英國科學(xué)家詹姆斯?尤林(James Jurin)統(tǒng)計量很多天花病例，結(jié)論證明自然感染天花的死亡概率為10-20%，接種天花疫苗后仍然死亡人數(shù)的人數(shù)2%，這是有關(guān)傳染病最早的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

詹姆斯?尤林(James Jurin)

然而，在歐洲大陸的法國，對接種的懷疑態(tài)度比英國更為強烈，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)試圖從從另一個角度證明天花疫苗的長期利益大于眼前的風(fēng)險——即人痘究竟能夠?qū)㈩A(yù)期壽命將增加多少。

丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)

他把人群分為兩組:一組是天花易感人群（Susceptible），另一組是之前感染過天花的人群（Infective）。作為流體力學(xué)的開山鼻祖，他的模型一開始就考慮了時間的作用，并用兩個方程來描述這個問題。一個方程描述了人口隨時間的變化; 另一組給出了易感染天花的人數(shù)。在這種簡化模型下，如果所有人口在出生時接種疫苗，預(yù)期壽命將增加3年以上。丹尼爾·伯努利開創(chuàng)了傳染病模型研究的先河，他在模型中引入的流體力學(xué)的描述方法至今仍在使用。

最經(jīng)典的模型

一百多年以后，流行病學(xué)研究逐漸發(fā)展成為一門專門的學(xué)科。發(fā)現(xiàn)蚊子是瘧疾的傳播媒介的 Ronald Ross 爵士成為第一個因為流行病學(xué)研究獲得諾貝爾獎的人。

羅納德·羅斯爵士

Ross 爵士的助手安德森·麥肯德里克（Anderson McKendrick）與其同實驗室的化學(xué)家威廉·克馬克（William Kermack），在1927年共同發(fā)表了流行病研究中最經(jīng)典、最基本的“SIR”模型，為傳染病動力學(xué)的研究做出了奠基性的貢獻(xiàn)。

麥肯德里克和克馬克

SIR模型從所有人的總數(shù)N出發(fā)，將人群分為三類：

易感者（Susceptible）：還沒有被感染，但是可能被感染的人，數(shù)量用S表示

感染者（Infective）：已經(jīng)被感染且依然能接觸易感人群的人，數(shù)量用I表示

移除者（Removal），由于被隔離或接受治療產(chǎn)生免疫能力，以及那些因病去世的人被稱為移除者，數(shù)量用R表示

在最開始的時候，所有人都是易感者，即S=N；然后S以每天有α的可能性被感染，感染者I又以每天β的概率轉(zhuǎn)化為移除者R（康復(fù)或死亡）。

SIR模型

這三種人的數(shù)量都與時間有關(guān)系，在不同時刻t下，這三者的關(guān)系為：

N(t) =S(t) +I(t) +R(t)

總?cè)藬?shù)= 易感人數(shù)+感染人數(shù)+移除人數(shù)

S(t+1) =S(t) -αS(t)

下一時刻的易感人數(shù)=當(dāng)前易感人數(shù)-新感染人數(shù)

I(t+1) =I(t)+αS(t)-βI(t)

下一時刻的感染人數(shù) = 當(dāng)前感染人數(shù)+新感染人數(shù)-新移除人數(shù)

R(t+1) =R(t) +βI(t)

下一時刻的移除人數(shù)=當(dāng)前移除人數(shù)+新移除人數(shù)

從這四個簡單到小學(xué)生就能懂的關(guān)系式出發(fā)，McKendrick和Kermack研究了S，I，R三類人隨時間的變化率。他們采用了一種被稱為連續(xù)時間馬爾可夫鏈的隨機過程最終推導(dǎo)出三類人員的變化率(具體過程比較復(fù)雜，暫且可以忽略)：

我們最關(guān)心的是第二個式子，即感染人群數(shù)I的變化率。當(dāng)I的變化率I'為負(fù)值，則表明感染的總?cè)藬?shù)I是在下降的。當(dāng)I'為正值時，感染的總?cè)藬?shù)I在上升。因此，科學(xué)家們將αS(t)I(t)與βI(t)的大小關(guān)系定義為一個特殊的量：

R0表示的是基本傳染數(shù)（Basic Reproduction Rate），它代表了感染者在死亡或康復(fù)之前被他感染的人數(shù)。盡管形式上有些類似，但R0與移除者R（Removal）本身并沒有關(guān)系。當(dāng)R0<1時，每個感染該疾病的人在死亡或康復(fù)之前感染的人數(shù)少于1人，因此疫情將逐漸消失(I'<0)。當(dāng)R0>1時，意味著每個人感染者將再感染不止一個人，因此該流行病將傳播開來(I'>0)。上面的R0只適用于基本的SIR模型，不同的傳染病具有不同的R0。

R0可能是流行病學(xué)中最重要的一個量，是研究傳染病群體生物學(xué)的核心問題。下圖展示了季節(jié)性流感（Seasonal Flu），埃博拉(Ebola)，SARS，麻疹（Measles）以及艾滋病病毒（HIV）的R0。盡管麻疹具有最強的傳染性，但是大家不用擔(dān)心，中國從1965年開始普種麻疹減毒活疫苗后發(fā)病顯著下降。

最早的SIR模型奠定了傳染病模型研究的基礎(chǔ)，但它畢竟是一種簡化的模型。影響傳染病實際傳播的因素非常復(fù)雜，自身免疫狀況，傳播方式，人群聚集情況，醫(yī)療保障措施（疫苗）等等都會影響傳播。SIR的缺陷也非常明顯的，它并沒有考慮許多傳染病存在潛伏期，已經(jīng)被感染但是沒有表現(xiàn)出來的人群被稱為潛伏者。當(dāng)潛伏期趨近于無窮的時候，被感染的人就會像”傷寒瑪麗“那樣，很容易作為超級傳播者。潛伏期越長，傳染病越難控制。考慮到這些因素，SIR模型衍生出了SEIR模型，其中E代表潛伏者(EXPOSED)。

SEIR模型

注意這些模型之間的那些實線和虛線，表示不同類別之間轉(zhuǎn)化的可能性，虛線表示也可能這種轉(zhuǎn)化不存在。像艾滋病這種傳染病，感染者目前并沒有機會獲得治愈，也就是沒有移除者（Removal），SIR模型并不適用。描述艾滋病傳播的模型模型被稱為SI模型（易感-感染者模型）。

SI模型

借助這些傳染病模型，我們將能驗證隔離或注射疫苗確實是制止傳播的有效手段。假如感染者，能夠每天接觸10個人，

假如有20%的機會使周圍的人感染，則R0 =2：

可是如果那10個人中，有5個都打了疫苗：

則R0就會降到R0=1.

疫苗實際上與隔離的作用差不多，也將會降低R0.

我們也可以將SIR三類人在不同時間的人數(shù)用曲線表示出來。例如總?cè)藬?shù)為 1000 的大學(xué)或公司，剛開始只有一個人感染感冒，其他 999 個人很健康但屬于易感人群。假設(shè)感染者每天將傳染其他五人，并且人們一般會在生病一到三天后決定去醫(yī)院或隔離。因此，我們假設(shè)每天移除 1/3的感染者。曲線如下所示，其中藍(lán)色，綠色，紅色分別表示易感者S，感染者I以及移除者R.

上例中，疫情會在五天后達(dá)到高潮，一半的人群會被感染，疫情大爆發(fā)了。如果我們再來分析如果每天80%的感染者被送進(jìn)醫(yī)院或隔離，將得到：

盡管它在第六天才達(dá)到頂峰，但只有不到200人感染。數(shù)據(jù)證明感染后就醫(yī)與隔離是正確的做法。

結(jié)束語

SIR模型簡要的反映了群體中不同類別之間的動態(tài)轉(zhuǎn)換。這種基于流體力學(xué)的狀態(tài)演變方程用途十分廣泛，它們不僅能夠描述捕食者和獵物之間的動態(tài)關(guān)系，描述經(jīng)濟周期的動態(tài)變化，還能描述輿論傳播等很多領(lǐng)域。

所有這些最基礎(chǔ)的模型并不深奧，只需要基本的微積分知識就能深刻了解數(shù)學(xué)帶來的神奇力量！

參考資料

https:///article/2023/12/bernoulli-jurin-and-the-math-behind-smallpox

https://thatsmaths.com/2023/09/20/the-end-of-smallpox/

https:///Kermack-McKendrickModel.html

http://networksciencebook.com/chapter/10#introduction10

https://cn.comsol.com/blogs/analyze-the-spread-of-epidemic-diseases-with-simulation/

https://harvardmagazine.com/2007/03/the-sars-scare.html

https:///2023/04/see-diseases-spread-mesmerizing-graphics/

http://eureka.criver.com/flu-hype-is-always-rampant-but-this-year-its-understandable/

https://www.quantamagazine.org/the-unforgiving-math-that-stops-epidemics-20231026/

www.stat.columbia.edu/~regina/research/notes123.pdf

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